Question

【题目】已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆过点，离心率为， ， 是椭圆的长轴的两个端点（位于右侧），是椭圆在轴正半轴上的顶点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同两点和，使得向量与共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】试题分析：（1）依题意得解得， .

所以椭圆的方程为.（2）假设存在过点且斜率为的直线适合题意，则因为直线的方程为： ，于是联立方程， .由直线与椭圆交于不同两点和知，

， .令， ， ，由韦达定理得出结论， ，根据向量与共线，可得， ，这与矛盾.

试题解析：

（1）设椭圆的方程为，

.依题意得解得， .

所以椭圆的方程为.

（2）假设存在过点且斜率为的直线适合题意，则因为直线的方程为： ，于是联立方程， .

由直线与椭圆交于不同两点和知，

， .

令， ， ，

， ，

，

由题知， ， .

从而，根据向量与共线，可得， ，这与矛盾.

故不存在符合题意的直线.