Question

【题目】已知椭圆过点，且离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程．

（Ⅱ）若椭圆上存在点、关于直线对称，求的所有取值构成的集合，并证明对于， 的中点恒在一条定直线上．

Answer 1

【答案】（）．（）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）因为 椭圆过点，所以．因为， 所以．所以椭圆的方程为；（Ⅱ）依题意得．因为 椭圆上存在点关于直线对称，所以 直线与直线垂直，且线段的中点在直线上．

设直线的方程为．由得，由得①， 的中点坐标为所以，所以代入①得或，所以或

因为，所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上．

试题解析：（Ⅰ）因为 椭圆过点，

所以． 1分

因为，

所以．

所以 椭圆的方程为3分

（Ⅱ）方法一：

依题意得．

因为 椭圆上存在点关于直线对称，

所以 直线与直线垂直，且线段的中点在直线上．

设直线的方程为．

由得． 5分

由，

得．（*）

因为， 7分

所以的中点坐标为．

又线段的中点在直线上，

所以．

所以． 9分

代入（*），得或．

所以或． 11分

因为，

所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上．

13分

方法二：

因为 点在直线上，且关于直线对称，

所以，且．

设（），的中点为．

则． 6分

又在椭圆上，

所以．

所以．

化简，得．

所以． 9分

又因为的中点在直线上，

所以．

所以．

由可得．

所以，或，即，或．

所以或．． 12分

所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上．

13分