Question

若正三棱锥底面边长为1，侧棱与底面所成的角为

π

4

，则其体积为

1

12

．

Answer 1

分析：欲求正三棱锥的体积，先求正三棱锥的高，由题意，顶点在底面中的射影是底面的中心，从而利用侧棱与底面所成角为45°角，可求高，从而得解

解答：解：先求正三棱锥的高，由题意，顶点P在底面中的射影是底面的中心O，

∠PAO为侧棱与底面所成角，∠PAO=45°，
从而有高PO=OA=

2

3

×

3

2

×1=

3

3

又底面积S△ABC=

3

4

×1×1=

3

4

∴正三棱锥的体积V=

1

3

×

3

4

×

3

3

=

1

12

故答案为：

1

12

点评：本题主要考查棱锥，线面关系、直线与平面所成的角、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．