Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若b=2

3

，c=2，求△ABC的面积；
（2）若sinA，sinB，sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）根据A、B、C成等差数列，结合A+B+C=π算出B=

π

3

，再由正弦定理得sinC=

c

b

sinB=

1

2

．根据b＞c得C为锐角，得到C=

π

6

，从而A=π-B-C=

π

2

，△ABC是直角三角形，由此不难求出它的面积；
（2）根据正弦定理，结合题意得b²=ac，根据B=

π

3

利用余弦定理，得b²=a²+c²-ac，从而得到a²+c²-ac=ac，整理得得（a-c）²=0，由此即可得到△ABC为等边三角形．

解答：解：解：∵A、B、C成等差数列，可得2B=A+C．
∴结合A+B+C=π，可得B=

π

3

．
（1）∵b=2

3

，c=2，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得sinC=

c

b

sinB=

2

2 3

×sin

π

3

=

1

2

．
∵b＞c，可得B＞C，∴C为锐角，得C=

π

6

，从而A=π-B-C=

π

2

．
因此，△ABC的面积为S=

1

2

bc=

1

2

×2

3

×2=2

3

．
（2）∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即sin²B=sinAsinC．
∴由正弦定理，得b²=ac
又∵根据余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∴a²+c²-ac=ac，整理得（a-c）²=0，可得a=c
∵B=

π

3

，∴A=C=

π

3

，可得△ABC为等边三角形．

点评：本题给出三角形的三个内角成等差数列，在已知两边的情况下求面积，并且在边成等比的情况下判断三角形的形状．着重考查了三角形内角和定理和利用正、余弦定理解三角形的知识，属于中档题．