Question

9．已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，a∈R
（1）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=2x-（2a+1）+$\frac{a}{x}$，函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，即f′（1）=0，解得a=1
（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间．
（3）由（2）得函数f（x）的单调性，分①a≤0，②0＜a≤$\frac{1}{2}$，③$\frac{1}{2}$＜a≤1，④a＞1讨论求出实数a的取值范围

解答 解（1）∵f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，（x＞0），∴f′（x）=2x-（2a+1）+$\frac{a}{x}$
函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，∴f′（1）=0，解得a=1；
（2）解：∵f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，（x＞0），
∴f′（x）=2x-（2a+1）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-a）}{x}$
①a≤0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增；
②0＜a＜$\frac{1}{2}$时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$或0＜x＜a，令f′（x）＜0，解得：a＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，a），（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，在（a，$\frac{1}{2}$）递减；
③a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增；
④a＞$\frac{1}{2}$时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞a，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜a，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（a，+∞）递增，在（$\frac{1}{2}$，a）递减．
（3）由（2）得：①a≤0时，f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，∴f（x）在（1，+∞）递增，
即∴x＞1时，f（x）＞f（1）=-2a≥0恒成立．
②0＜a≤$\frac{1}{2}$时，∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，∴f（x）在（1，+∞）递增，
即x＞1时，f（x）＞f（1）=-2a＜0不符合题意；
③$\frac{1}{2}$＜a≤1时，∴f（x）在 （a，+∞）递增，∴f（x）在（1，+∞）递增，
即x＞1时，f（x）＞f（1）=-2a＜0不符合题意；
④a＞1时，∴f（x）在 （a，+∞）递增，在（1，a）递减．f（a）＜f（1）=-2a＜0不符合题意
 综上，若x＞1时，f（x）＞0恒成立，实数a的取值范围（-∞，0]．

点评 本题考查了函数的切线、单调性、最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．