Question

19．已知函数f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx
（1）若a=2．求f（x）的极值．
（2）若a＞0．求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，对a讨论，分①当0＜a＜1时，②当a=1时，③当a＞1时，即可求f（x）的单调区间．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=x²-6x+4lnx，（x＞0），
f′（x）=2x-6+$\frac{4}{x}$=$\frac{{2（x}^{2}-3x+2）}{x}$=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增；
故f（x）_极大值=f（1）=-5，f（x）_极小值=f（2）=4ln2-8；
（2）∵f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
∴f′（x）=2x-2（a+1）+$\frac{2a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2（a+1）x+2a}{x}$，
由f'（x）=0得x₁=a，x₂=1，
①当0＜a＜1时，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；
在x∈（a，1）时，f'（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；
②当a=1时，在x∈（0，+∞）时f'（x）≥0，
∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
③当a＞1时，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0；
在x∈（1，a）时，f'（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，考查分类讨论的思想方法，正确分类是解决本题的关键．