Question

4．已知函数f（x）=x²-（2t+1）x+tlnx（t∈R）
（1）若t=1，求f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=（1-t）x，若?x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数t的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），得f（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）递增，在（$\frac{1}{2}$，1）递减．
f（x）的极大值为f（$\frac{1}{2}$），f（x）的极小值为f（1）；
（2）函数g（x）=（1-t）x，若?x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立．??x∈[1，e]，使得x²-（2t+1）x+tlnx≥（1-t）x．由x∈[1，e]，得x-lnx＞0，即原问题等价于??x∈[1，e]，使得t≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$．
令h（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}\\;\$，求出其最大值即可．

解答 解（1）∵f（x）=x²-（2t+1）x+tlnx，（x＞0），t=1时，∴f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）递增，在（$\frac{1}{2}$，1）递减．
∴f（x）的极大值为f（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{5}{4}-ln2$，
f（x）的极小值为f（1）=-2
（2）函数g（x）=（1-t）x，若?x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立．
??x∈[1，e]，使得x²-（2t+1）x+tlnx≥（1-t）x．
∵x∈[1，e]，∴x-lnx＞0，
∴原问题等价于??x∈[1，e]，使得t≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$．
令h（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}\\;\$，$h′（x）=\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{（x-lnx）^{2}}$，
∵x∈[1，e]，∴x+2-lnx＞0，
∴h′（x）≥0在[1，e]恒成立，∴f（x）在[1，$\frac{1}{2}$e]递增，
h（x）_max=h（e）=$\frac{e（e-2）}{e-1}$．即t$≤\frac{e（e-2）}{e-1}$
∴实数t的最大值为$\frac{e（e-2）}{e-1}$．

点评 本题考查了导数的综合应用，考查了函数极值，存在性问题，属于中档题．