Question

16．若平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 设|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=m，根据题意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{1}{2}$m²，设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，根据向量的夹角公式计算即可．

解答 解：设|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=m，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{1}{2}$m²，
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$m²+m²=$\frac{3}{2}$m²，
（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3m²，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\frac{3}{2}{m}^{2}}{m•\sqrt{3}•m}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0°≤θ≤180°，
∴θ=30°，
故选：A

点评 本题考查了向量的数量积公式和向量的夹角公式，属于中档题．