Question

6．已知函数f（x）=x²+（a²+b²-9）x+a+b+ab为偶函数，则函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值与最小值的和为3$\sqrt{2}$-$\frac{11}{4}$．

Answer 1

分析 利用还是偶函数，利用三角函数的基本关系式，化简所求的表达式，换元法令t=sinx+cosx，通过二次函数的性质，从而求函数的最值．

解答 解：函数f（x）=x²+（a²+b²-9）x+a+b+ab为偶函数，可得a²+b²=9，
函数的图象与y轴交点的纵坐标为：a+b+ab，令a=3sinx，b=3cosx，
a+b+ab=3sinx+3cosx+9sinxcosx，
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，t²=1+2sinxcosx，
则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
则f（x）=3sinx+3cosx+9sinxcosx
=3t+9$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{9}{2}$（t²+$\frac{2}{3}$t-1）
=$\frac{9}{2}$（t+$\frac{1}{3}$）²-5；
∵-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
∴-5≤$\frac{9}{2}$（t+$\frac{1}{3}$）²-5≤$3\sqrt{2}+\frac{9}{4}$；
故函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值与最小值：3$\sqrt{2}$-$\frac{11}{4}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$-$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查了换元法与配方法求函数的值域，考查转化思想的应用，属于中档题．