Question

18．已知向量$\overrightarrow a=（1，2），|\overrightarrow b|=1$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°．
（1）求与$\overrightarrow a$垂直的单位向量的坐标；
（2）求向量$\overrightarrow b-2\overrightarrow a$在$\overrightarrow a$上的投影．

Answer 1

分析 （1）设与$\overrightarrow a$垂直的单位向量的坐标为（x，y），利用单位向量与$\overrightarrow{a}$垂直得到方程组解之；
（2）根据投影的定义得到所求．

解答 解：（1）设与$\overrightarrow a$垂直的单位向量的坐标为（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-2\sqrt{5}}{5}}\\{y=\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{y=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，
所以与$\overrightarrow a$垂直的单位向量的坐标为（$-\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{\sqrt{5}}{5}$），或（$\frac{2\sqrt{5}}{5}，-\frac{\sqrt{5}}{5}$）；
（2））$（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{a}}^{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}-2×5$，
所以向量$\overrightarrow b-2\overrightarrow a$在$\overrightarrow a$上的投影为$\frac{（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}-10}{\sqrt{5}}=\frac{1}{2}-2\sqrt{5}$．

点评 本题考查了平面向量的运算；熟练掌握向量的数量积公式以及几何意义是解答的关键．