Question

13．如图，在△ABC中，已知∠BAC=$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=3，点D为边BC上一点，满足$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AD}$，点E是AD上一点，满足$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{ED}$，则|$\overrightarrow{BE}$|=$\frac{2\sqrt{19}}{9}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{BE}$，计算${\overrightarrow{BE}}^{2}$即可得出|$\overrightarrow{BE}$|．

解答 解：如图，延长AB到F，使AF=2AB，连接CF，
取CF中点O，连接AO，则$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AO}$=3$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}$），
∵$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{ED}$，
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{4}{9}\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{9}$（$\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}$）=$\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}$；
∵∠BAC=$\frac{π}{3}$，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2×3×cos60°=3，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$=-$\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$，
∴${\overrightarrow{BE}}^{2}$=（-$\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$）²=$\frac{25}{81}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{4}{81}{\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{20}{81}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{76}{81}$，
∴|$\overrightarrow{BE}$|=$\sqrt{\frac{76}{81}}$=$\frac{2\sqrt{19}}{9}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{19}}{9}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的几何运算，属于中档题．