Question

4．已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=x³+x²f（x）-16x+20．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间及极值；
（Ⅱ）求证：g（x）的图象恒在x轴的上方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，令f′（x）=0，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f（x）的单调区间及极值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：g（x）≥x³+x²-16x+20，等号当且仅当x=1时成立．构造辅助函数，求导，利用导数与函数单调性的关系，求得g（x）＞0，即可证明g（x）的图象恒在x轴的上方．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=\frac{x-1}{x}（x＞0）$．
令$f'（x）=\frac{x-1}{x}=0$，得x=1．
令f'（x）＞0得x＞1，f（x）递增；令f'（x）＜0得0＜x＜1，f（x）递减．
∴f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），
∴f（x）的极小值为f（1）=1，f（x）无极大值．…（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）≥1，
∴g（x）≥x³+x²-16x+20，等号当且仅当x=1时成立．
设h（x）=x³+x²-16x+20，则h'（x）=3x²+2x-16=（3x+8）（x-2），
令h'（x）＞0得x＞2；
令h'（x）＜0，得0＜x＜2．
∴h（x）_min=h（2）=0，
∴h（x）≥0，等号当且仅当x=2时成立．
因为取等号不一样，所以g（x）＞0
即g（x）的图象恒在x轴的上方．…（12分）

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间及最值，考查转化思想，属于中档题．