Question

14．已知等差数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁+1，a₂+1，a₃+3成等比数列．a_n+2log₂b_n=-1．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得d＞0，运用等差数列的通项公式，和等比数列的中项的性质，解方程可得d，进而得到数列{a_n}的通项公式，再由对数的运算可得{b_n}的通项公式；
（2）求出a_n•b_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₁=1，a_n+1＞a_n（n∈N^*），可得：
d＞0，a₂=1+d，a₃=1+2d，
由a₁+1，a₂+1，a₃+3成等比数列，可得：
（a₂+1）²=（a₁+1）（a₃+3），即为（d+2）²=（1+1）（4+2d），
解得d=2（-2舍去），
则a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，n∈N*，
由a_n+2log₂b_n=-1，即log₂b_n=-n，
可得b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N^*；
（2）a_n•b_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
则前n项和T_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+5•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{3}{2}$-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
可得T_n=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N^*．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想，考查数列的求和方法：错位相减法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．