Question

11．已知命题P：至少存在一个实数x₀∈[2，4]，使不等式x²-ax+2＞0成立．若P为真，则参数 a 的取值范围为（　　）

• A． （-∞，3）
• B． $（-∞，2\sqrt{2}）$
• C． （-∞，$\frac{11}{3}$）
• D． （-∞，$\frac{9}{2}$）

Answer 1

分析 求出￢p成立时，?x∈[2，4]，都有a≥x+$\frac{2}{x}$恒成立，从而求出p为真时，a的范围即可．

解答 解：命题P：至少存在一个实数x₀∈[2，4]，使不等式x²-ax+2＞0成立，
则￢p：?x∈[2，4]，都有x²-ax+2≤0成立，
即?x∈[2，4]，都有a≥x+$\frac{2}{x}$恒成立，
令f（x）=x+$\frac{2}{x}$，x∈[2，4]，
则f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$＞0，
故f（x）在[2，4]递增，
f（x）_max=f（4）=4+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，
故a≥$\frac{9}{2}$，
即￢p成立时，a≥$\frac{9}{2}$，
故p为真时，a＜$\frac{9}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查命题的否定，是一道中档题．