Question

3．已知f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$，f₁（x）=f（x），f_n（x）=$\underset{\underbrace{f（…f（x）…）}}{n个f}$，则${f_{10}}（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{{{3^{1024}}-1}}$．

Answer 1

分析 根据题意，令f₁（x）=a₁=f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$，则有f₂（x）=a₂=f[f₁（x）]=$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{2a}_{1}+1}$，依次可得f_n+1（x）=a_n+1=f[f_n（x）]=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{2a}_{n}+1}$，分析可得即有$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$+1=（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）²，由等比数列的性质分析可得lg（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）是首项为lg（$\frac{1}{{a}_{1}}$+1），公比为2的等比数列；进而可以求出数列{a_n}的通项公式，将n=10代入可得a₁₀=f₁₀（x）的解析式，再将x=$\frac{1}{2}$代入计算可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$，f₁（x）=f（x），f_n（x）=$\underset{\underbrace{f（…f（x）…）}}{n个f}$，
令f₁（x）=a₁=f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$，
f₂（x）=a₂=f[f₁（x）]=$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{2a}_{1}+1}$，
…
f_n+1（x）=a_n+1=f[f_n（x）]=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{2a}_{n}+1}$，
即有a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{2a}_{n}+1}$，
变形可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$，
$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$+1=（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）²，
lg（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1）=lg[（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）²]=2lg（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），
故lg（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）是首项为lg（$\frac{1}{{a}_{1}}$+1），公比为2的等比数列；
则有lg（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=lg（$\frac{1}{{a}_{1}}$+1）×2^n-1，
$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=（$\frac{1}{{a}_{1}}$+1）${\;}^{{2}^{n-1}}$，
当n=10时，有$\frac{1}{{a}_{10}}$+1=（$\frac{1}{{a}_{1}}$+1）${\;}^{{2}^{9}}$，
又由a₁=$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=（$\frac{x+1}{x}$）²，
a₁₀=f₁₀（x）=$\frac{1}{（\frac{x+1}{x}）^{{2}^{10}}-1}$，
令x=$\frac{1}{2}$，
则${f_{10}}（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{{{3^{1024}}-1}}$；
故答案为：$\frac{1}{{{3^{1024}}-1}}$．

点评 本题考查数列的应用，关键是构造等比数列，并运用等比数列的性质分析，求出数列的通项公式．