Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足条件：${c_{n+1}}={a_{c_n}}+{2^n}$，又c₁=3，是否存在实数λ，使得数列$\left\{{\frac{{{c_n}+λ}}{2^n}}\right\}$为等差数列？

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系即可得出．
（2）${c_{n+1}}={a_{c_n}}+{2^n}$，即${c_{n+1}}=2{c_n}+1+{2^n}$，假设存在实数λ，使得数列$\left\{{\frac{{{c_n}+λ}}{2^n}}\right\}$为等差数列．又c₁=3，c₂=9，c₃=23，$\frac{3+λ}{2}$，$\frac{9+λ}{4}$，$\frac{23+λ}{8}$成等差数列．解得λ，再利用等差数列的定义即可得出．

解答 解：（1）n=1时，a₁=S₁=3，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
∴a_n=2n+1．
（2）${c_{n+1}}={a_{c_n}}+{2^n}$，即${c_{n+1}}=2{c_n}+1+{2^n}$，
假设存在实数λ，使得数列$\left\{{\frac{{{c_n}+λ}}{2^n}}\right\}$为等差数列．
又c₁=3，c₂=2c₁+1+2=9，c₃=2c₂+1+2²=23，
$\frac{3+λ}{2}$，$\frac{9+λ}{4}$，$\frac{23+λ}{8}$成等差数列．
∴$\frac{3+λ}{2}$+$\frac{23+λ}{8}$=2×$\frac{9+λ}{4}$，解得λ=1．
则$\frac{{c}_{n+1}+1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{c}_{n}+1}{{2}^{n}}$=$\frac{{c}_{n+1}+1-2（{c}_{n}+1）}{2×{2}^{n}}$=$\frac{{c}_{n+1}-2{c}_{n}-1}{2×{2}^{n}}$=$\frac{1+{2}^{n}-1}{2×{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$．
∴λ=1时，数列$\left\{{\frac{{{c_n}+λ}}{2^n}}\right\}$为等差数列．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义域通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．