Question

2．已知函数f（x）=|lnx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值等于2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质，求出ab=1，然后利用基本不等式求$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值．

解答 解：因为f（x）=|lnx|，f（a）=f（b），所以|lna|=|lnb|，
即lna=±lnb，又a＞b＞0，所以lna=-lnb，ab=1，
  则$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$=$\frac{（a-b）^{2}+2ab}{a-b}=（a-b）+\frac{2}{a-b}≥2\sqrt{2}$，
当且仅当ab=1且a-b=$\frac{2}{a-b}$时取等号，
  ∴$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值 为2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，利用对数函数的图象和性质求出ab=1是解决本题的关键，注意基本不等式成立的条件．属于中档题