Question

10．设平面上向量$\overrightarrow a=（cosα，sinα）（0≤α＜2π），\overrightarrow b=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$不共线，
（1）证明向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直；
（2）当两个向量$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$的模相等，求角α．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，求得（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）=0，即量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直．
（2）由已知得（$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$）²=（$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$）²，
⇒$3{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow{b}}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα=sin（α-\frac{π}{6}）=0$．可求得α

解答 解：（1）证明：∵向量$\overrightarrow a=（cosα，sinα）（0≤α＜2π），\overrightarrow b=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$不共线．
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，则得（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}={1}^{2}-{1}^{2}=0$，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直．
（2）∵向量$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$的模相等，
∴（$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$）²=（$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$）²，
⇒$3{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow{b}}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∵${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{b}}^{2}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα=sin（α-\frac{π}{6}）=0$．
∵α∈[0，2π），∴$α=\frac{π}{6}$或$α=\frac{7π}{6}$．

点评 本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．