Question

15．已知函数f（x）=|2x-1|+|ax-5|（0＜a＜5）．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥9的解集；
（2）如果函数y=f（x）的最小值为4，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，分类讨论求不等式f（x）≥9的解集；
（2）f（x）的最小值在$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{a}$时取得，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤2}\\{f（x）_{min}=f（\frac{1}{2}）=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2＜a≤5}\\{f（x）_{min}=f（\frac{5}{a}）=4}\end{array}\right.$，即可求实数a的值．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=|2x-1|+|x-5|，
x＜$\frac{1}{2}$时，不等式f（x）≥9等价于6-3x≥9，∴x≤-1，此时x≤-1；
$\frac{1}{2}≤$x≤5时，不等式f（x）≥9等价于x+4≥9，∴x≥5，此时x=5；
x＞5时，不等式f（x）≥9等价于3x-6≥9，∴x＞5，此时x＞5；
综上所述，不等式的解集为{x|x≤-1或x＞5}；
（2）∵0＜a＜5，
∴x＜$\frac{1}{2}$，f（x）=-（a+2）x+6单调递减；x＞$\frac{5}{a}$，f（x）=（a+2）x-6单调递增，
∴f（x）的最小值在$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{a}$时取得，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤2}\\{f（x）_{min}=f（\frac{1}{2}）=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2＜a≤5}\\{f（x）_{min}=f（\frac{5}{a}）=4}\end{array}\right.$，解得a=2．

点评 本题考查不等式的解法，考查函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．