Question

7．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若A是锐角△ABC的一个内角，且满足f（A）=$\frac{2}{3}$，求sin2A的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（2）根据f（A）=$\frac{2}{3}$，求解出A角的关系式，利用构造思想结合和与差的公式求解即可．

解答 解：函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
化简可得：f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（1）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z
得$kπ+\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{2π}{3}$，
∴函数f（x）的单调递减区间为得[$kπ+\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{2π}{3}$]，k∈Z
（2）∵f（A）=$\frac{2}{3}$，即2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，
可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$＞sin$\frac{5π}{6}$＞0
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$
∴2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{5π}{6}$，π），
可是cos（2A+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
那么sin2A=sin[（2A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2A+$\frac{π}{6}$）cos（$\frac{π}{6}$）-cos（2A+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了和与差公式的运用，构造的思想．属于中档题．