Question

16．在数列{a_n}中，${a_1}=1，{\;}_{\;}{a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{3+{a_n}}}{\;}_{\;}（n∈{N^+}）$，
（1）写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式；
（2）证明这个数列的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系即可得出．
（2）由原式两边取对数，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：（1）在数列{a_n}中，∵a₁=1，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{3+{a}_{n}}$（n∈N⁺）．
a₁=1=$\frac{3}{3}$，a₂=$\frac{3{a}_{1}}{3+{a}_{1}}$=$\frac{3}{2+2}$，a₃=$\frac{3{a}_{2}}{3+{a}_{2}}$=$\frac{3}{3+2}$，a₄=$\frac{3{a}_{3}}{3+{a}_{3}}$=$\frac{3}{4+2}$，a₅=$\frac{3{a}_{4}}{3+{a}_{4}}$=$\frac{3}{5+2}$，…
∴可以猜想，这个数列的通项公式是a_n=$\frac{3}{n+2}$．
（2）证明：由原式得$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{3+{a}_{n}}{3{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$，
所以数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，
故$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）$\frac{1}{3}$=$\frac{n+2}{3}$，从而a_n=$\frac{3}{n+2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、取对数法、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．