Question

6．已知圆C经过点A（0，2）和点B（2，-2），且圆心C在直线x-y+1=0上．
（Ⅰ）求圆C的标准式方程
（Ⅱ）若有斜率的直线m经过点（1，4），且被圆C截得的弦长为6，求直线m的斜截式方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出圆心的坐标，利用半径相等求得t，进而利用两点的距离公式求得半径，则圆的方程可得．
（Ⅱ）设出直线m的方程，利用点到直线和距离和勾股定理建立等式求得k，则直线的方程可得．

解答 解：（Ⅰ）设圆心的坐标为（t，t+1），
则有t²+（t-1）²=（t-2）²+（t+3）²，
整理求得t=-3，
故圆心为（-3，-2），r²=t²+（t-1）²=25，
则圆的方程为（x+3）²+（y+2）²=25；
 （Ⅱ）设直线m的方程为y-4=k（x-1）整理得，kx-y+4-k=0，
圆心到直线的距离为$\frac{|-3k+2+4-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，即（4k-6）²=16（k²+1），求得k=$\frac{5}{12}$．
则直线m的斜截式方程为y=$\frac{5}{12}$x+$\frac{43}{12}$．

点评 本题主要考查求圆的标准方程的方法，属于基础题．利用数形结合思想是解决问题的常用办法．