Question

8．已知a，b是不相等的正实数，则$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$与$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$两个数的大小顺序是$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$＞$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$．

Answer 1

分析 作差，分解，利用实数的性质，可得：（$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$）-（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）=$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}{\sqrt{ab}}$＞0．进而得到结论．

解答 解：（$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$）-（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）
=$\frac{a-b}{\sqrt{b}}$-$\frac{a-b}{\sqrt{a}}$
=（a-b）$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$
=$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}{\sqrt{ab}}$＞0．
故$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$＞$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$，
故答案为：$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$＞$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$

点评 本题考查的知识点是作差法比较数的大小，不等式的证明，难度中档．