Question

1．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为1的等比数列{b_n}的公比为q，S₂=a₃=b₃，且a₁，a₃，b₄成等比数列．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设${c_n}=k+{a_n}+{log_3}{b_n}（k∈N_{\;}^+），若\frac{1}{c_1}，\frac{1}{c_2}，\frac{1}{c_t}$（t≥3）成等差数列，求k和t的值．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，以及等比数列中项的性质，可得方程，解方程可得公差、公比及首项，进而得到所求通项公式；
（2）求得c_n=k+a_n+log₃b_n=k+3n+log₃3^n-1=k+4n-1，由等差数列中项的性质，可得$\frac{2}{k+7}$=$\frac{1}{k+3}$+$\frac{1}{k+4t-1}$，化简可得t=3+$\frac{8}{k-1}$，讨论k的取值，可得t的值．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由S₂=a₃=b₃，
可得2a₁+d=a₁+2d=b₁q²=q²，①
a₁，a₃，b₄成等比数列，可得
a₃²=a₁b₄，即（a₁+2d）²=a₁（b₁q³）=a₁q³，②
由①②可得a₁=d=q=3，
则a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1，n∈N*；
（2）c_n=k+a_n+log₃b_n=k+3n+log₃3^n-1=k+4n-1，
则c₁=k+3，c₂=k+7，c_t=k+4t-1，
由$\frac{1}{{c}_{1}}$，$\frac{1}{{c}_{2}}$，$\frac{1}{{c}_{t}}$（t≥3）成等差数列，可得
$\frac{2}{{c}_{2}}$=$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{t}}$，即为$\frac{2}{k+7}$=$\frac{1}{k+3}$+$\frac{1}{k+4t-1}$，
化简可得t=3+$\frac{8}{k-1}$，
由t≥3，且t∈N*，可得k-1为8的正约数，
即有k=2，t=11或k=3，t=7或k=5，t=5或k=9，t=4．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列中项的性质，考查方程思想，以及分类讨论的思想方法，化简整理的运算能力，属于中档题．