Question

13．已知函数f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$，由x₁=a，x_n+1=f（x_n）产生的无穷数列{x_n}，对任意正整数n均有x_n＜x_n+1成立，则a的取值范围是（1，2）．

Answer 1

分析 要使对任意正整数n，均有x_n＜x_n+1，则必须x＜$\frac{4x-2}{x+1}$，得x＜-1或1＜x＜2，要使x₁＜x₂，则x₁＜-1或1＜x₁＜2，再分别进行验证，依此类推，即可得到a的范围．

解答 解：不等式x＜$\frac{4x-2}{x+1}$，即为$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x+1}$＜0，
即为$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{{x}^{2}-3x+2＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1＜0}\\{{x}^{2}-3x+2＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{1＜x＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{x＞2或x＜1}\end{array}\right.$，
得x＜-1或1＜x＜2，
要使x₁＜x₂，则x₁＜-1或1＜x₁＜2．
对于函数f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$，
若x₁＜-1，则x₂=f（x₁）=$\frac{4{x}_{1}-2}{{x}_{1}+1}$=4-$\frac{6}{{x}_{1}+1}$＞4，
x₃=f（x₂）=4-$\frac{2}{1+{x}_{2}}$＜x₂，与题意不符；
当1＜x₁＜2时，x₂=f（x₁）=4-$\frac{6}{{x}_{1}+1}$∈（1，2），
x₂-x₁=$\frac{4{x}_{1}-2}{{x}_{1}+1}$-x₁=-$\frac{（{x}_{1}-1）（{x}_{1}-2）}{{x}_{1}+1}$＞0，
即有x₂＞x₁，且1＜x₂＜2．
依此类推可得数列{x_n}的所有项均满足x_n+1＞x_n（n∈N）．
综上所述，a=x₁∈（1，2），
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查函数与数列的综合应用，考查数列的单调性，以及不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，化简整理的运算能力，属于中档题．