Question

11．已知$5sin2α=6cosα，α∈（0，\frac{π}{2}）$，则$tan\frac{α}{2}$=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由已知式子和二倍角公式可得sinα，进而可得cosα，再由切化弦和二倍角公式代值计算可得．

解答 解：∵5sin2α=6cosα，∴10sinαcosα=6cosα，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴cosα≠0，∴$sinα=\frac{3}{5}$，
∴由同角三角函数基本关系可得cosα=$\frac{4}{5}$，
∴$tan\frac{α}{2}=\frac{{sin\frac{α}{2}}}{{cos\frac{α}{2}}}=\frac{{2{{sin}^2}\frac{α}{2}}}{{2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}}=\frac{1-cosα}{sinα}=\frac{{1-\frac{4}{5}}}{{\frac{3}{5}}}=\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二倍角的正弦和正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属中档题．