Question

16．如表是关于某设备的使用年份x和所需要的维修费用y （万元）的几组统计数据：

x（年份）	2012	2013	2014	2015	2016
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（1）利用公式（公式见卷首）求y对x的回归直线方程；
（2）估计2020年，该设备维修费用为多少？

Answer 1

分析 （1）先做出两组数据的平均数，把平均数和条件中所给的两组数据代入求解b的公式，做出b的值，再求出a的值，写出回归直线的方程．
（2）把x=2020代入直线的方程得到y=12.38，估计维修的费用．这是一个预报值，不是正确数值

解答 解1：（1）$\bar x$=$\frac{1}{5}$（2012+2013+2014+2015+2016）=2014，
$\bar y$=$\frac{1}{5}$（2.2+3.8+5.5+6.55+7）=5，
$\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}=12.3$，$\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}=10$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}=1.23$$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=-2472.22$，
∴$所求的回归直线方程为\hat y=1.23x-2472.22$
另解：设X=x-2014，Y=y-5.5  则

X	-2	-1	0	1	2
Y	-3.3	-1.7	0	1	1.5

$\bar X$=0，$\overline{Y}=-0.5$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{X_i}{Y_i}-5\bar X\bar Y}}}{{\sum_{i=1}^5{{X^2}_i-5{{\bar X}^2}}}}=\frac{12.3}{10}=1.23$，
$\hat a=\bar Y-\hat b\overline{X}=-0.5$，
∴$\hat Y=1.23X-0.5$，
∴$所求的回归直线方程为\hat y-5.5=1.23（x-2014）-0.5$，
即$\hat y=1.23x-2472.22$…..（8分）
（2）当x=2020时，$\hat y=12.38$（万元）
∴估计2020年，该设备维修费用为12.38万元…..（12分）

点评 本题考查线性回归方程的求解和应用，是一个基础题，解题的关键是正确应用最小二乘法来求线性回归方程的系数．