Question

19．求值：$\root{3}{5+2\sqrt{13}}$+$\root{3}{5-2\sqrt{13}}$．

Answer 1

分析 设x=$\root{3}{5+2\sqrt{13}}$+$\root{3}{5-2\sqrt{13}}$．两边立方，再利用立方和公式展开化简即可得出．

解答 解：设x=$\root{3}{5+2\sqrt{13}}$+$\root{3}{5-2\sqrt{13}}$．
则x³=5+2$\sqrt{13}$+3$\root{3}{（5+2\sqrt{13}）（5-2\sqrt{13}）}$（$\root{3}{5+2\sqrt{13}}$+$\root{3}{5-2\sqrt{13}}$）+5-2$\sqrt{13}$=10-9x，
化为x³+9x-10=0，变形为x³-1+9（x-1）=0，
∴（x-1）（x²+x+10）=0，
∴x=1．
∴$\root{3}{5+2\sqrt{13}}$+$\root{3}{5-2\sqrt{13}}$=1．

点评 本题考查了根式的运算性质、乘法公式，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．