Question

已知向量

m

=（

3

sinαωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx）（ω＞0）函数f（x）=

m

•

n

的最小正周期为

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算列出关系式，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期公式，由已知周期即可求出ω的值；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosx，将b²=ac代入并利用基本不等式化简求出cosx的范围，进而确定出x的范围，求出这个角的范围，根据f（x）=k，得到sin（2ωx-

π

6

）=k+

1

2

，利用正弦函数图象即可确定出k的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

2

sin2ωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
∴T=

2π

2ω

=

π

2

，
∴ω=2；
（Ⅱ）∵b²=ac，且边b所对的角为x，
∴由余弦定理得：cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴0＜x≤

π

3

，
∴-

π

6

≤4x-

π

6

≤

7π

6

，
由f（x）=k，得到sin（2ωx-

π

6

）=k+

1

2

，
由函数y=sinx的图象知，要有两个不同的实数解，需-

1

2

＜k+

1

2

＜1，
解得：-1＜k＜

1

2

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，周期公式，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．