Question

对于两个图形F₁，F₂，我们将图形F₁上的任意一点与图形F₂上的任意一点间的距离中的最小值，叫作图形F₁与图形F₂的距离．若两个函数图象的距离小于1，称这两个函数互为“可及函数”．给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是

 

．（写出所有正确命题的编号）
①f（x）=cosx，g（x）=2；
②f（x）=e^x，g（x）=x；
③f（x）=log₂（x²-2x+5），g（x）=sin

π

2

x；
④f（x）=x+

2

x

，g（x）=lnx+2；
⑤f（x）=

4-x2

，g（x）=

3

4

x+

15

4

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：计算题,推理和证明

分析：利用“可及函数”的定义，求出两个函数图象的距离最小值，即可得出结论．

解答： 解：①f（x）=cosx的最低点与g（x）=2的距离等于1，故不满足题意；
②f（x）=e^x，则f′（x）=e^x，设切点为（a，e^a），则e^a=1，∴a=0，∴切点为（（0，1），切线方程为y=x+1，则与g（x）=x的距离为

1

2

＜1，满足题意；
③f（x）=log₂（x²-2x+5）≥2，g（x）=sin

π

2

x≤1，∴两个函数图象的距离大于等于1，不满足题意；
④x=

2

时，f（x）=x+

2

x

=2

2

，g（x）=lnx+2=ln

2

+2，两个函数图象的距离小于1，满足题意；
⑤f（x）=

4-x2

表示以原点为圆心，2为半径的上半圆，圆心到g（x）=

3

4

x+

15

4

的距离为

15 4

9 16 +1

=3，∴两个函数图象的距离最小值为1，不满足题意．
故答案为：②④．

点评：本题考查合情推理，考查新定义，考查学生的计算能力，正确理解新定义是关键．