Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与a=（3，﹣1）共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明λ²+μ²为定值．

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为则
直线AB的方程为y=x﹣c，
代入，
化简得（a²+b²）x²﹣2a²cx+a²c²﹣a²b²=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
．
∵与共线，
∴3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，
又y₁=x₁﹣c，y₂=x₂﹣c，
∴3（x₁+x₂﹣2c）+（x₁+x₂）=0，
∴．
即，所以a²=3b²．
∴，
故离心率．
（2）证明：由（1）知a²=3b²，
所以椭圆可化为x²+3y²=3b²．
设M（x，y），由已知得（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴
∵M（x，y）在椭圆上，
∴（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²．
即λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．①
由（1）知．
∴，
∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁﹣c）（x₂﹣c）=4x₁x₂﹣3（x₁+x₂）c+3c²==0．
又x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²，
代入①得λ²+μ²=1．
故λ²+μ²为定值，定值为1．