[题目]是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,.(1)求证:四棱锥为阳马;(2)若,当鳖膈体积最大时,求锐二面角的余弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,.

(1)求证:四棱锥为阳马;

(2)若,当鳖膈体积最大时,求锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】

(1)按照题目定义，只要证明面即可，而由，即可证出面；

(2)先根据基本不等式求出当时，鳖膈体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角的余弦值．

(1)∵底面，面

∴

又，

∴面，

又四边形为矩形

∴四棱锥为阳马．

(2)∵，，∴

又∵底面，

∴

当且仅当时，取最大值

∵，底面

∴以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系

，，

设面的一个法向量

由得

同理得

∴

二面角的余弦值为．

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