Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

-1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F：(-2，0)，F：(2，0)，点P(3，

7

)
的曲线C上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得a²+b²=4，得到a和b的关系，把点（3，

7

）代入双曲线方程，求得a，进而根据a²+b²=4求得b，双曲线方程可得．
（2）可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，根据直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，进而可得k的范围，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），根据韦达定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出|EF|和原点O到直线l的距离根据三角形OEF的面积求得k，进而可得直线方程．

解答：解：（Ⅰ）：依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为

x2

a2

-

y2

4-a2

=1（0＜a²＜4），
将点（3，

7

）代入上式，得

9

a2

-

7

4-a2

=1．解得a²=18（舍去）或a²=2，
故所求双曲线方程为

x2

2

-

y2

2

=1．
（Ⅱ）：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k)2＞0

?

k≠±1 - 3 ＜k＜ 3

∴k∈（-

3

，-1）∪（1，

3

）．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则由①式得x₁+x₂=

4k

1-k2

，x1x2=

6

1-k2

，
于是，|EF|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

而原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

，
∴S_△OEF=

1

2

d•|EF|=

1

2

•

2

1+k2

•

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

=

2 2 3-k2

|1-k2|

．
若S_△OEF=2

2

，即

2 2 3-k2

|1-k2|

=2

2

?k4-k2-2=0，解得k=±

2

，
满足②．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=

2

x+2和y=-

2

x+2．

点评：本题主要考查了双曲线的方程和双曲线与直线的关系．考查了学生综合运算能力．