Question

抛物线C：x²=8y与直线y=2x-2相交于A，B两点，点P是抛物线C上不同A，B的一点，若直线PA，PB分别与直线y=2相交于点Q，R，O为坐标原点，则

OR

•

OQ

的值是（　　）

• A、20
• B、16
• C、12
• D、与点P位置有关的一个实数

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：如图所示，设A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，P(x0，

x 2 0

8

)，R（x_R，2），Q（x_Q，2）．把直线AB方程与抛物线联立可得根与系数的关系，利用点斜式可得直线PA，PB的方程，进而得到点Q，R的坐标，再利用数量积运算即可得出．

解答： 解：如图所示，
设A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，P(x0，

x 2 0

8

)，R（x_R，2），Q（x_Q，2）．
联立

y=2x-2 x2=8y

，化为x²-16x+16=0，
∴x₁+x₂=16，x₁x₂=16．
直线PA的方程：y-

x 2 0

8

=

x 2 1 8 - x 2 0 8

x1-x0

(x-x0)，化为y-

x 2 0

8

=

x1+x0

8

(x-x0)．
令y=2，可得x_Q=

16+x1x0

x1+x0

．
同理直线PB的方程：y-

x 2 0

8

=

x2+x0

8

(x-x0)．
令y=2，可得x_R=

16+x2x0

x2+x0

．
∴

OR

•

OQ

=x_Rx_Q+4=

16+x1x0

x1+x0

•

16+x2x0

x2+x0

+4=

256+16x0(x1+x2)+x1x2 x 2 0

x1x2+x0(x1+x2)+ x 2 0

+4=

256+256x0+16 x 2 0

16+16x0+ x 2 0

=16+4=20．
故选：A．

点评：本题考查了直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、点斜式、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．