Question

A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC=α．
（1）若A点的坐标为（

3

5

，

4

5

），求

3-cos2α+sinαcosα

1+sin2α

的值；
（2）求|BC|²的取值范围．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得所求式子的值．
（2）设A点的坐标为（cosα，sinα），可得B点的坐标为（cos（α+

π

3

），sin（α+

π

3

）），且C（1，0），|BC|² =2-2cos（α+

π

3

）．再根据α∈（

π

6

，

π

2

），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|²的取值范围．

解答： 解：（1）∵A点的坐标为（

3

5

，

4

5

），∴tanα=

4

3

，∴

3-cos2α+sinαcosα

1+sin2α

=

3sin2α+2cos2α+sinαcosα

2sin2α+cos2α

=

3tan2α+2+tanα

2tan2α+1

=

3× 16 9 +2+ 4 3

2× 16 9 +1

78

41

．
（2）设A点的坐标为（cosα，sinα），∵△AOB为正三角形，
∴B点的坐标为（cos（α+

π

3

），sin（α+

π

3

）），且C（1，0），
∴|BC|²=[cos（α+

π

3

）-1]²+sin²（α+

π

3

）=2-2cos（α+

π

3

）．
而A、B分别在第一、二象限，∴α∈（

π

6

，

π

2

），∴α+

π

3

∈（

π

2

，

5π

6

），∴cos（α+

π

3

）∈（-

3

2

，0）．
∴|BC|²的取值范围是（2，2+

3

）．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．