Question

7．（1）数列{a_n}的前n项和S_n=An²+Bn（A，B是常数）求证：数列{a_n}是等差数列
（2）数列{ b_n}的前n项和S_n=$\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}$，（q≠1）求证：数列{ b_n}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）a_n=S_n-S_n-1=（An²+Bn）-[A（n-1）²+B（n-1）]=2an-A．a₂-a₁=（4A-A）-（2A-A）=2A．数列{a_n}的公差为2A的等差数列．
（2）利用公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（n=1）}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}（n≥2）}\end{array}\right.$进行讨论，然后综合可得a_n的通项公式，从而证出数列{a_n}是公比为q等比数列．

解答 （1）证明：由S_n=An²+Bn（A，B是常数）知，
a_n=S_n-S_n-1=（An²+Bn）-[A（n-1）²+B（n-1）]
=（a_n²+b_n）-（a_n²-2a_n+A+b_n-B）=2a_n-A+B．
∴a₂-a₁=（4A-A）-（2A-A）=2A．
∴数列{a_n}是等差数列；
（2）n=1时，a₁=S₁=a，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{a}{1-q}$（qⁿ-q^n-1）=aq^n-1
∵n=1时，a₁=a=aq^1-1也符合
∴a_n=aq^n-1（n∈N₊），可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=q，即数列{a_n}是公比为q等比数列．

点评 本题考查数列的性质和应用，解题要认真审题，仔细解答．