Question

16．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（x+a）lnx，x＞0\\ 2ax+2+a，x≤0\end{array}$，且f'（-1）=f'（1），则当x＞0时，f（x）的导函数f'（x）的极小值为2．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求出a的值，问题转化为求g（x）=f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1的最小值问题，根据函数的单调性求出即可．

解答 解：x≤0时，f′（x）=2a，
x＞0时，f′（x）=lnx+$\frac{a}{x}$+1，
由f'（-1）=f'（1），
得：f′（-1）=2a=f′（1）=a+1，
解得：a=1，
故x＞0时，f′（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$，
设g（x）=f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1，
则g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，
x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，
∴g（x）=f′（x）在x=1时取最小值，
∴g（x）_min=f′（x）_min=g（1）=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．