Question

8．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x+$\frac{a}{x}$，a∈R．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x＞1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出曲线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．
（2）转化不等式，分离变量，构造函数，通过函数的导数求解函数的最值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
当a=2时f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，f′（1）=-$\frac{3}{2}$，又f（1）=$\frac{3}{2}$，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：3x+2y-6=0
（2）由题意即$a＜\frac{x^2}{2}-xlnx$对一切x∈（1，+∞）恒成立
令$g（x）=\frac{x^2}{2}-xlnx$，则g′（x）=x-（lnx+1），${g^{，}}（x）=1-\frac{1}{x}$
当x＞1时，g′（x）＞0，故g′（x）=x-（lnx+1）在（1，+∞）上为增函数，
g′（x）＞g′（1）=0，即$g（x）=\frac{x^2}{2}-xlnx$在（1，+∞）上为增函数$g（x）＞g（1）=\frac{1}{2}$，
故$a≤\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程以及函数的最值的求法，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．