Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=2

3

，E为PC的中点．
（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；
（2）求C点到平面PBD的距离．

Answer 1

分析：（1）连AC，BD交于点O，以O为原点，OA，OB，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．用坐标表示点与向量，求出平面PAC的一个法向量，进而利用向量的夹角公式，可求直线DE与平面PAC所成角的大小．
（2）由（1）知，

DB

=(0，2，0)，

DP

=(

3

，1，2

3

)，

CD

=(

3

，-1，0)，求出平面PBD的一个法向量
进而利用d=

| CD • n |

| n |

=

3

5

=

3 5

5

可求．

解答：解：（1）如图，连AC，BD交于点O，又由底面ABCD为菱形可得BD⊥AC，且点O是AC的中点，连接OE，又E为PC的中点，所以EO∥PA．
由PA⊥底面ABCD，可得EO⊥底面ABCD
以O为原点，OA，OB，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则有O（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），D（0，-1，0），P（

3

，0，2

3

），E（0，0，

3

）
依题意得

DB

=(0，2，0)即为平面PAC的一个法向量
又

DE

=(0，1，

3

)，所以cos＜

DB

，

DE

＞=

2

2×2

=

1

2

所以＜

DB

，

DE

＞=60°直线DE与平面PAC所成角的大小为30°
（2）由（1）知，

DB

=(0，2，0)，

DP

=(

3

，1，2

3

)，

CD

=(

3

，-1，0)
设

n

=(x，y，z)为平面PBD的一个法向量
由

n

⊥

DB

与

n

⊥

DP

得

2y=0 3 x+y+2 3 z=0

令x=1，取

n

=(1，0，-2)∴C点到平面PBD的距离为d，
则d=

| CD • n |

| n |

=

3

5

=

3 5

5

．

点评：本题以四棱锥为载体，考查线面角，考查点面距离，关键是构建空间直角坐标系．