Question

17．已知关于x的不等式x²-4x+t≤0的解集为A，若（-∞，t]∩A≠∅，则实数t的取值范围是[0，4]．

Answer 1

分析 根据题意，问题等价于二次函数f（x）=x²-4x+t，在区间（-∞，t]内至少存在一个数c 使得f（c）≤0，
利用否定命题：对于区间（-∞，t]内的任意一个x都有f（x）＞0，求出t的取值范围，再求对应原命题的实数t的取值范围．

解答 解：关于x的不等式x²-4x+t≤0的解集为A，且（-∞，t]∩A≠∅，
等价于二次函数f（x）=x²-4x+t，在区间（-∞，t]内至少存在一个数c 使得f（c）≤0，
其否定是：对于区间（-∞，t]内的任意一个x都有f（x）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t≤2}\\{f（t）＞0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{t＞2}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$②；
由①得$\left\{\begin{array}{l}{t≤2}\\{{t}^{2}-4t+t＞0}\end{array}\right.$，解得t＜0；
由②得$\left\{\begin{array}{l}{t＞2}\\{{2}^{2}-4×2+t＞0}\end{array}\right.$，解得t＞4；
即t＜0或t＞4；
∴二次函数f（x）在区间（-∞，t]内至少存在一个实数c，使f（c）≤0的实数t的取值范围是[0，4]．
故t的取值范围是[0，4]．
故答案为：[0，4]．

点评 本题考查了命题与命题否定的应用问题，也考查了转化思想与不等式的恒成立问题，是综合性题目．