Question

7．已知△ABC的三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（2，3），其外接圆为圆H．
（Ⅰ）求圆H的方程；
（Ⅱ）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆H的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，把△ABC的三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（2，3）代入，能求出圆H的方程．
（Ⅱ）圆H：x²+y²-4y-1=0的圆心H（0，2），半径r=$\sqrt{5}$，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2；当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2）+3，圆心H（0，2）到直线l：y=k（x-2）+3的距离d=r，由经能求出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）设圆H的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵△ABC的三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（2，3），其外接圆为圆H，
$\left\{\begin{array}{l}{1-D+F+0}\\{1+D+F=0}\\{4+9+2D+3E+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=0，E=-4，F=-1．
∴圆H的方程为x²+y²-4y-1=0．
（Ⅱ）圆H：x²+y²-4y-1=0的圆心H（0，2），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+4}$=$\sqrt{5}$，
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，
此时圆心H（0，2）到直线l：x=2的距离d=2，弦长为：2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{5-4}$=2，成立；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2）+3，
圆心H（0，2）到直线l：y=k（x-2）+3的距离d=$\frac{|-2-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|1-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，
∴r²=d²+（$\frac{2}{2}$）²，即5=$\frac{（1-2k）^{2}}{{k}^{2}+1}$+1，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直线l的方程为y=-$\frac{3}{4}$（x-2）+3，即3x+4y-9=0．
综上，直线l的方程为x=2或3x+4y-9=0．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法及点到直线的公式的合理运用．