Question

18．已知D是△ABC的边AB上一点，若$\overrightarrow{CD}$=λ$\overrightarrow{CA}$+λ²$\overrightarrow{CB}$，其中0＜λ＜1，则λ的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 根据D是△ABC的边AB上一点，设$\overrightarrow{DB}=k\overrightarrow{AB}$，（0＜k＜1），然后把$\overrightarrow{CD}$用$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$表示即可．

解答 解：∵D是△ABC的边AB上一点，设$\overrightarrow{DB}=k\overrightarrow{AB}$，（0＜k＜1）则$\overrightarrow{AD}=（1-k）\overrightarrow{AB}$，
又$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}$，
∴2$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+（1-2k）（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$，
∴$\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{CA}+（1-k）\overrightarrow{CB}$，
∵$\overrightarrow{CD}$=λ$\overrightarrow{CA}$+λ²$\overrightarrow{CB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=k}\\{1-k={λ}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$λ=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（舍），
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题主要考查向量的共线和平面向量基本定理，属于基础题．