Question

3．到2016年，北京市高考英语总分将由150分降低到100分，语文分值将相应增加．某校高三学生率先尝试100分制英语考试，从中随机抽出50人的英语成绩作为样本并进行统计，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60]，第二组[60，70]，…第五组[90，100]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这次参加英语考试的高三学生的英语平均成绩；
（2）从这五组中抽取14人进行座谈，若抽取的这14人中，恰好有2人成绩为50分，7人成绩为70分，2人成绩为75分，3人成绩为80分，求这14人英语成绩的方差；
（3）从50人的样本中，随机抽取测试成绩在[50，60]∪[90，100]内的两名学生，设其测试成绩分别为m，n
（i）求事件“|m-n|＞30”的概率；
（ii）求事件“mn≤3600”的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图能估计高三学生的英语平均成绩．
（2）先求出这14人英语成绩的平均分，由此能求出这14人英语成绩的方差．
（3）（i）由直方图知成绩在[50，60]内的人数为2，设其成绩分别为a，b，c，利用列举法能求出事件“|m-n|＞30”的概率．
（ii）由事件mn≤3600的基本事件只有（x，y）这一种，能求出事件“mn≤3600”的概率．

解答 解：（1）估计高三学生的英语平均成绩为：
55×0.004×10+65×0.018×10+75×0.040×10+85×0.032×10+95×0.006×10=76.8．
（2）这14人英语成绩的平均分为：
$\overline{x}$=$\frac{50×2+70×7+75×2+80×3}{14}$=70，
∴这14人英语成绩的方差：
S²=$\frac{1}{14}$[2（50-70）²+7（70-70）²+2（75-70）²+3（80-70）²]=$\frac{575}{7}$．
（3）（i）由直方图知成绩在[50，60]内的人数为：50×10×0.004=2，
设其成绩分别为a，b，c，
若m，n∈[50，60）时，只有（x，y）一种情况，
若m，n∈[90，100]时，有（a，b），（b，c），（a，c）三种情况，
若m，n分别在[50，60）和[90，100]内时，有：

	a	b	c
x	（x，a）	（x，b）	（x，c）
y	（y，a）	（y，b）	（y，c）

共6种情况，
∴基本事件总数为10种，
事件“|m-n|＞30”所包含的基本事件有6种，
∴P（|m-n|＞30）=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．
（ii）事件mn≤3600的基本事件只有（x，y）这一种，
∴P（mn≤3600）=$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查平均数、方差的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．