已知数列{an}.{bn}.Sn为数列{an}的前n项和.向量$\overrightarrow{x}$=(1.bn).$\overrightarrow{y}$=(an-1.Sn).$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．(1)若bn=2.求数列{an}通项公式,(2)若bn=$\frac{n}{2}$.a2=0．①证明:数列{an}为等差数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

17．已知数列{a_n}，{b_n}，S_n为数列{a_n}的前n项和，向量$\overrightarrow{x}$=（1，b_n），$\overrightarrow{y}$=（a_n-1，S_n），$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．
（1）若b_n=2，求数列{a_n}通项公式；
（2）若b_n=$\frac{n}{2}$，a₂=0．
①证明：数列{a_n}为等差数列；
②设数列{c_n}满足c_n=$\frac{{{a_{n+3}}}}{{{a_{n+2}}}}$，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得c_l、c₂、c_m成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用两个向量平行的坐标关系得到S_n=（a_n-1）b_n，进一步对n取值，得到数列{a_n}是等差数列；
（2）①由${b_n}=\frac{n}{2}$，则2S_n=na_n-n③，又2S_n+1=（ n+1）a_n+1-（n+1）④，两式相减即可得到数列{a_n}的递推公式，进一步对n 取值，得到数列{a_n}是首项为-1，公差为1的等差数列．
②由①得到数列{c_n}通项公式，根据m，l的范围讨论可能的取值．

解答解：（1）因为$\overrightarrow{x}$=（1，b_n），$\overrightarrow{y}$=（a_n-1，S_n），$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．
得S_n=（a_n-1）b_n，当b_n=2，则S_n=2a_n-2 ①，
当n=1时，S₁=2a₁-2，即a₁=2，…（1分）
又S_n+1=2a_n+1-2 ②，
②-①得S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n，
即a_n+1=2a_n，又a₁=2，
所以{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，…（3分）
所以a_n=2ⁿ．…（4分）
（2）①证明：因为${b_n}=\frac{n}{2}$，则2S_n=na_n-n③，
当n=1时，2S₁=a₁-1，即a₁=-1，
又2S_n+1=（ n+1）a_n+1-（n+1）④，
④-③得
2S_n+1-2S_n=（n+1）a_n+1-na_n-1，…（6分）
即（n-1）a_n+1-na_n-1=0 ⑤，
又na_n+2-（n+1）a_n+1-1=0⑥
⑥-⑤得，na_n+2-2na_n+1+na_n=0，
即a_n+2+a_n=2a_n+1，所以数列{a_n}是等差数列．…（8分）
②又a₁=-1，a₂=0，
所以数列{a_n}是首项为-1，公差为1的等差数列．
a_n=-1+（n-1）×1=n-2，所以${c_n}=\frac{n+1}{n}$，…（10分）
假设存在l＜m（l≠2，m≠2），使得c_l、c₂、c_m成等比数列，即$c_2^2={c_l}{c_m}$，
可得$\frac{9}{4}=\frac{l+1}{l}•\frac{m+1}{m}$，…（12分）
整理得5lm-4l=4m+4即$l=\frac{4m+4}{5m-4}$，由$\frac{4m+4}{5m-4}≥1$，得1≤m≤8，…（14分）
一一代入检验$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ l=8\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=2\\ l=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=3\\ l=\frac{16}{11}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=4\\ l=\frac{5}{4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=5\\ l=\frac{8}{7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=6\\ l=\frac{14}{13}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=7\\ l=\frac{32}{31}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=8\\ l=1\end{array}\right.$
由l＜m，所以存在l=1，m=8符合条件．…（16分）

点评本题考查了由数列的前n项和求通项公式以及等差数列通项公式的运用；关键是正确求出{a_n}通项公式．

练习册系列答案

步步高系列衔接教材精华课堂暑假天天乐西安出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

7．已知△ABC的三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（2，3），其外接圆为圆H．
（Ⅰ）求圆H的方程；
（Ⅱ）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

8．已知α、β为锐角，cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{5}{13}$，则cosβ=$\frac{33}{65}$．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

5．某校高二八班选出甲、乙、丙三名同学参加级部组织的科学知识竞赛．在该次竞赛中只设成绩优秀和成绩良好两个等次，若某同学成绩优秀，则给予班级10分的班级积分，若成绩良好，则给予班级5分的班级积分．假设甲、乙、丙成绩为优秀的概率分别为$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，他们的竞赛成绩相互独立．
（1）求在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有一名成绩为优秀的概率；
（2）记在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学所得的班级积分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

12．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则f（$\frac{π}{2}$）的值为$\sqrt{3}$．