Question

【题目】以下四个关于圆锥曲线的命题：

①设A，B是两个定点，为非零常数，若，则P的轨迹是双曲线；

②过定圆C上一定点A作圆的弦AB，O为原点，若向量．则动点P的轨迹是椭圆；

③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线与椭圆有相同的焦点．

其中正确命题的序号为________．

Answer 1

【答案】③④

【解析】

①当时，则动点的轨迹为双曲线，即可判断出；

②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，可得点为弦的中点，由垂经定理可得，因此动点的轨迹为圆．

③解方程可得两根，2．利用椭圆与双曲线的离心率的范围即可判断出；

④由双曲线可得，其焦点，同理可得椭圆焦点为；

解：①设、为两个定点，为非零常数，当时，则动点的轨迹为双曲线，因此不正确；

②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，可得点为弦的中点，由垂经定理可得，因此动点的轨迹为圆，故不正确．

③解方程可得两根，．因此可以作为椭圆的离心率，可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；

④由双曲线可得，其焦点，同理可得椭圆焦点为，因此有相同的焦点，正确；

综上可知：其中真命题的序号为 ③④．

故答案为③④．