Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知、（）是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为.

①求四边形APBQ的面积的最大值；

②求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②证明见解析.

【解析】

（1）设椭圆C的方程，再根据抛物线的焦点坐标，和椭圆离心率，则可求出椭圆C的方程的解析式.

（2）①先求出m的值，设，和直线AB的方程，再联立直线AB的方程和由（1）求得的椭圆方程，得到，可求出t的范围，再根据韦达定理可得，则四边形APBQ的面积的最大值可求，②由①得P点坐标，再根据斜率公式写出,,再将化简即可得则可证.

（1）由题意设椭圆的方程为，

因为抛物线的焦点坐标为，则，

由，

∴椭圆C的方程为.

（2）①当时，解得，

，

设，直线AB的方程为，

，

，

由，解得，

由韦达定理得.

，

由此可得：四边形APBQ的面积，

∴当时，.

②，

，

，

即 ，

.