【题目】如图,在多面体中,四边形
是菱形,
,四边形
是直角梯形,
,
,
.
(Ⅰ)证明:平面
.
(Ⅱ)若平面平面
,
为
的中点,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(I)见解析;(II)
【解析】
(Ⅰ)取的中点
,连接
,
,结合已知条件,得四边形
为平行四边形,进而得
为平行四边形,由线面平行的判定定理得CE∥平面ADF.
(Ⅱ)取CD中点N,以A为原点,AN为x轴,AB为y轴,AF为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值.
(Ⅰ)取的中点
,连接
,
,如图所示,因为
,四边形
是直角梯形,
得且
,所以四边形
为平行四边形,即
且
.
又因为四边形是菱形,所以
,进而
,得
为平行四边形,
即有,又
平面
,
平面
,所以
平面
.
(Ⅱ)取的中点
,在菱形
中,
,可得
.因为平面
平面
,
平面平面
,
平面
,
,所以
平面
.
以为坐标原点,AN为x轴,AB为y轴,AF为z轴,建立空间直角坐标系
,如图所示.
故,
,
,
,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,则有
即
令
可得
.
易知平面的一个法向量为
.
设平面与平面
所成的锐二面角为
,则
,
即所求二面角的余弦值为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某机构组织语文、数学学科能力竞赛,按照一定比例淘汰后,颁发一二三等奖.现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示,其中数学科目成绩为二等奖的考生有人.
(Ⅰ)求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数;
(Ⅱ)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取人,进行综合素质测试,将他们的综合得分绘成茎叶图,求样本的平均数及方差并进行比较分析;
(Ⅲ)已知本考场的所有考生中,恰有人两科成绩均为一等奖,在至少一科成绩为一等奖的考生中,随机抽取
人进行访谈,求两人两科成绩均为一等奖的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系,经过调查得到如下数据:
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求
与实际等候人数y的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.
(1)若选取的是后面4组数据,求y关于x的线性回归方程,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;
(2)为了使等候的乘客不超过35人,试用(1)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟?
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在如图所示的数阵中每一行从左到右均是首项为1,项数为n的等差数列,设第行的等差数列中的第k项为
2,3,
,
,公差为
,若
,
,且
,
,
,
,
也成等差数列.
Ⅰ
求
;
Ⅱ
求
关于m的表达式;
Ⅲ
若数阵中第i行所有数之和
,第j列所有数之和为
,是否存在i,j满足
,使得
成立?若存在,请求出i,j的一组值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列1,1,1,2,2,1,2,4,3,1,2,4,8,4,1,2,4,8,16,5,…,其中第一项是,第二项是1,接着两项为
,
,接着下一项是2,接着三项是
,
,
,接着下一项是3,依此类推.记该数列的前
项和为
,则满足
的最小的正整数
的值为( )
A.65B.67C.75D.77
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【题目】某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包,被甲、乙、丙三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为
A. B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,离心率等于
,它的一个长轴端点恰好是抛物线
的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知、
(
)是椭圆上的两点,
是椭圆上位于直线
两侧的动点,且直线
的斜率为
.
①求四边形APBQ的面积的最大值;
②求证:.
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【题目】(2014·长春模拟)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表:
甲 | 27 | 38 | 30 | 37 | 35 | 31 |
乙 | 33 | 29 | 38 | 34 | 28 | 36 |
(1)画出茎叶图.
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、方差,并判断选谁参加比赛更合适?
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