Question

【题目】在如图所示的数阵中每一行从左到右均是首项为1，项数为n的等差数列，设第行的等差数列中的第k项为2，3，，，公差为，若，，且，，，，也成等差数列．

Ⅰ求；

Ⅱ求关于m的表达式；

Ⅲ若数阵中第i行所有数之和，第j列所有数之和为，是否存在i，j满足，使得成立？若存在，请求出i，j的一组值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），其中 ；（Ⅲ）不存在.

【解析】

本题的数阵中蕴涵着很多个等差数列，包括每一行都成等差数列，最后一列也成等差数列，每一行的公差也成等差数列，把握住这些，然后细心运算．

解：Ⅰ由题意，可知：

数阵中的第1行是以为首项，为公差的等差数列，

数阵中的第1行的最后一项．

又数阵中的第2行是以为首项，为公差的等差数列，

数阵中的第2行的最后一项．

数阵中的每行的最后一项，，，，也成等差数列．

．

Ⅱ由Ⅰ可知：

，．

数阵中的每行的最后一项，，，，是以为首项，为公差的等差数列．

等差数列，，，，中的第m项．

数阵第m行中第1项，最后一项第n项，而数阵第m行也是等差数列．

数阵第m行的公差．

，其中．

Ⅲ由题意及ⅠⅡ，可知：

数阵中第i行是以为首项，为公差的等差数列．

．

由Ⅱ可知：

是以1为首项，2为公差的等差数列．

．

，

，

，

，

，

等差数列．

假设成立，即．

整理，得：

要使此式成立，必须有：

，

解得：，很明显，这与题中条件相矛盾．

不存在i，j的一组值，使得成立．