Question

9．已知a＞0，且a≠1，f（x）=1-$\frac{2}{1+{a}^{x}}$，x∈R．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求不等式f（x）＞f（-x）的解集．

Answer 1

分析 （1）根据函数的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）要解的不等式即f（x）＞0，又f（0）=1，分类讨论，根据f（x）的单调性，求得不等式的解集．

解答 解：（1）∵a＞0，且a≠1，f（x）=1-$\frac{2}{1+{a}^{x}}$=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$ 的定义域为R，关于原点对称，
f（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1{-a}^{x}}{1{+a}^{x}}$=-f（x），故函数f（x）为奇函数．
（2）不等式f（x）＞f（-x），即f（x）＞-f（x），即 f（x）＞0．
又f（0）=1，
故当a＞1时，f（x）为增函数，故不等式f（x）＞0的解集为（0，+∞）；
当0＜a＜1时，f（x）为减函数，故不等式f（x）＞0的解集为（-∞，0）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的判断以及奇函数的性质，函数的单调性的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．