Question

20．以圆锥曲线的焦点弦AB为直径作圆，与相应准线l有两个不同的交点，求证：
①这圆锥曲线一定是双曲线；
②对于同一双曲线，l截得圆弧的度数为定值．

Answer 1

分析 ①QH⊥ST，|AB|＞2|QH|，2|QH|=|AA₁|+|BB₁|=$\frac{AF}{e}$+$\frac{BF}{e}$=$\frac{AB}{e}$，可得e＞1，这圆锥曲线一定是双曲线；
②对于同一双曲线，cos∠SQH=$\frac{QH}{QS}$=$\frac{2QH}{2QF}$=$\frac{A{A}_{1}+B{B}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{e}$为定值，即可证明l截得圆弧的度数为定值．

解答 证明：①如图：QH⊥ST，|AB|＞2|QH|，
2|QH|=|AA₁|+|BB₁|=$\frac{AF}{e}$+$\frac{BF}{e}$=$\frac{AB}{e}$，
所以e＞1，
所以圆锥曲线为双曲线．
②cos∠SQH=$\frac{QH}{QS}$=$\frac{2QH}{2QF}$=$\frac{A{A}_{1}+B{B}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{e}$为定值，
所以弧ST的度数为定值．

点评 本题考查圆锥曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．